Ранее были получены выражения для прямого и обратного дискретного преобразования Фурье. Приведем их еще раз:

В данной статье мы рассмотрим свойства ДПФ.

Спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. Если  то спектр  равен:

При умножении сигнала на константу спектр сигнала также умножается на константу:

Пусть сигнал  имеет спектр  . Если сдвинуть сигнал  циклически на  отсчетов, т.е., то спектр сдвинутого сигнала равен:

Введем замену переменной , тогда  и выражение (4) можно переписать:

Таким образом циклический сдвиг сигнала на  приводит к повороту фазового спектра, а амплитудный спектр не меняется.

Необходимо сделать замечание. Выражение (5) справедливо только для циклического сдвига. Пример циклического сдвига показан на рисунке 1.

Красным цветом на верхнем графике показан исходный сигнал , на среднем  со сдвигом отсчета (с опережением), а на нижнем графике сдвинутый на  отсчета (с запаздыванием). Видно что при циклическом сдвиге при опережении первые  отчетов переносятся из начала в конец выборки, а при запаздывании последние  отчетов переносятся из конца выборки в начало.

Пусть сигнал  есть результат циклической свертки сигналов  и  :

Рассчитаем спектр сигнала :

Поменяем местами операции суммирования:

При выводе выражения (8) было использовано свойство временного сдвига. Таким образом можно сделать вывод о том, что спектр циклической свертки двух сигналов равен произведению спектров этих сигналов. Это свойство позволяет использовать быстрые алгоритмы ДПФ для вычисления свертки.

Пусть сигнал  равен произведению сигналов  и  , причем  и  - спектры сигналов  и  соответственно.

Подставим в выражение (9) выражения для сигнала  в виде ОДПФ от спектра :

Поменяем местами операции суммирования в выражении (10) и получим:

Таким образом, спектр произведения сигналов представляет собой циклическую свертку спектров этих сигналов.

Пусть сигнал  имеет спектр . Произведем циклический сдвиг спектра  и рассмотрим ОДПФ, тогда:

Таким образом получили, что сдвиг спектра осуществляется умножением сигнала на комплексную экспоненту. Важно отметить, что после умножения на комплексную экспоненту сигнал будет комплексным, а его спектр перестанет быть симметричным.

Инверсия по частоте спектра действительного сигнала показана на рисунке 2.

Если  - спектр сигнала , то инверсный спектр  равен:

На рисунке 3 показано, что инверсия спектра соответствует циклическому частотному сдвигу спектра на спектральный отсчетов в сторону опережения, или запаздывания.

Тогда сигнал с инверсным спектром, согласно (12) свойству о частотном сдвиге спектра равен:

Таким образом, для инверсии спектра сигнала достаточно каждый второй отсчет сигнала умножить на минус единицу. При этом умножение на минус единицу четных отсчетов соответствует циклическому сдвигу спектра вправо на  спектральных отсчетов, а умножение нечетных отсчетов соответствует циклическому сдвигу спектра влево на  спектральных отсчетов.

Мы рассмотрели основные свойства ДПФ. У ДПФ есть еще одно замечательно свойство: свойство двойственности, которое заключается в том, что все свойства ДПФ справедливы как для сигнала так и для спектра. Например можно рассмотреть свойство 3 ДПФ, которое гласит: спектр циклической свертки сигналов есть произведение спектров. В то же время это можно сформулировать и в обратную сторону: спектр произведения сигналов есть циклическая свертка спектров этих сигналов (свойство 4). Аналогично можно переформулировать свойство 5 из свойства 3: сдвиг во времени приводит к умножения спектра на комплексную экспоненту, в то время как умножение сигнала на комплексную экспоненту приводит к циклическому сдвигу спектра. Используя свойство двойственности, можно предположить опираясь на свойство 6, что умножение каждого второго спектрального отсчета на минус единицу произведет инверсию сигнала согласно (13). Действительно из рисунка 3 следует, что инверсия согласно (13) будет при сдвиге сигнала или спектра на  отсчетов. При этом из выражения (5) спектр сигнала с циклическим сдвигом на  равен:

Получили, что для инверсии сигнала во времени необходимо каждый второй отсчет его спектра умножить на минус единицу, как мы и предположили воспользовавшись свойством двойственности ДПФ.

Таким образом, мы рассмотрели основные свойства ДПФ: линейность, свойства временного и частотного сдвигов, спектр свертки и произведения сигналов и проанализировали инверсию спектра и сигнала. Также была показана двойственность ДПФ позволяющая формулировать свойства одновременно как для спектра так и для сигнала.