Большое количество публикаций на зарубежных сайтах по теме полифазного БПФ, сопровождается очень скудной информацией в литературе. Между тем, интерес к этой теме подогревается якобы «супер разрешением» по частоте при использовании полифазного БПФ по сравнению с «классическим» преобразованием. В данной статье мы попробуем разобраться с этим «супер разрешением» и получить целостную картину алгоритма.

Полифазное БПФ выполняется как это показано на рисунке 1.

Исходный сигнал   умножается на весовое окно  , в результате получается сигнал  . Этот сигнал делится на  равных частей по отсчетов, формируются «укороченные» сигналы    Эти «укороченные» сигналы почленно складываются и формируется один суммарный сигнал

Далее берется  – точечное БПФ от  и получается спектр  

Рассмотрим подробнее спектр от всего взвешенного сигнала длиной  отсчетов:

Представим в выражении (2)  в виде суммы не пересекающихся во времени «укороченных» выборок, тогда:

Учтем что , тогда

Выражение (3) представляет собой — точечное ДПФ, а нам нужно  – точечное. Рассмотрим только  – ые отсчеты спектра  , тогда (3) c учетом (4) :

Можно заметить что:

Тогда

Учтем (1) тогда (7) перепишем к виду:

Таким образом можно сделать вывод: спектр на выходе полифазного БПФ есть прореженный по частоте в  раз спектр исходного взвешенного сигнала. Данное утверждение экспериментально проверено и оно верно. Пример такого прореживания приведен на рисунке 2.

При этом мы получаем спектр длины , с хорошим разрешением по частоте поскольку применялось оконное сглаживание, а из него выбираем только  отсчетов путем прореживания по частоте, Для этого требуется только  – точечное БПФ.

Поскольку при полифазном БПФ используется прореживание по частоте, то возможна ситуация, когда при прореживании будут потеряны полезные гармоники сигнала. Например, если сигнал будет иметь вид как показано на рисунке 3, то тогда, очевидно, мы выбирая каждый  – ый отсчет «перепрыгнем» гармонику и не заметим ее в спектре.

Высокое разрешение по частоте с нами играет злую шутку. Для того чтобы спектральные гармоники не «потерялись» в результате прореживания по времени весовое окно  должно быть таким, чтобы обеспечить расширение спектрального пика до отсчетов. В этом случае мы не сможем его перепрыгнуть выбирая каждый – ый спектральный отсчет. Это наглядно показано на рисунке 4. Рисунок 4a показывает спектр ,  исходного сигнала , без оконной обработки, рисунок 4б — результат весового сглаживания , , острые пики стали широкими причем один пик «размазывается» на  отсчетов, и наконец на рисунке 4в — полифазное БПФ без потери гармоник.

Проиллюстрируем все вышесказанное экспериментально. Возьмем исходный сигнал. Частоту дискретизации возьмем  Гц, количество исходных отсчетов , Гц,  Гц. Выберем .

Результаты эксперимента приведены на рисунке 5. Синие спектры — результат полифазного БПФ, красные 1024 точечные БПФ со сглаживающим окном Хэмминга.

Рисунок 5а. Частоты  Гц,  Гц. Окно Хемминга как при 1024-точечном БПФ (без полифазной обработки), так и при полифазном БПФ на 4096 точек. Мы попадаем точно на гармоники и видим увеличение разрешения в спектре. Этот пример показывает насколько лучше становится разрешение в спектре при использовании полифазного БПФ. При этом вычислительные затраты примерно одинаковые как на 1024 точечное БПФ без полифазной обработки, так и на полифазное БПФ на 4096 точек ().

Рисунок 5б. Частоты  Гц,  Гц. Окно Хемминга как при 1024-точечном БПФ (без полифазной обработки), так и при полифазном БПФ на 4096 точек. Пример того как использование полифазного БПФ приводит к потере гармоники из-за неправильно выбранной ширины сглаживающего окна (окно Хемминга слишком узкое).

Рисунок 5в. Частоты  Гц,  Гц. Окно Хемминга при 1024-точечном БПФ (без полифазной обработки), и окно Блэкмана при полифазном БПФ на 4096 точек. Видно что окно Блэкмана гораздо лучше подходит для полифазного БПФ, так как потерянная гармоника гораздо выше чем при окне Хемминга, но все равно окно Блэкмана недостаточно широкое, так как уровень гармоники на 20 дБ ниже положенного.

Рисунок 5г. Частоты  Гц,  Гц. Окно Хемминга при 1024-точечном БПФ (без полифазной обработки), и окно Блэкмана-Харриса при полифазном БПФ на 4096 точек. Видно что расширение сглаживающего спектрального окна (Блэкмана-Харриса « окно низкого разрешения) увеличивает амплитуду «потерянной» гармоники, но все равно недостаточно.

Рисунок 5д. Частоты  Гц,  Гц. Окно Хемминга при 1024-точечном БПФ (без полифазной обработки), и максимально-плоское окно при полифазном БПФ на 4096 точек. Уровень потерянной гармоники незначительно ниже реального уровня (примерно на 2...3 дБ). Но наблюдается расширение основного пика при полифазной обработке.

Рисунок 5е. Частоты  Гц,  Гц. Окно Хемминга при 1024-точечном БПФ (без полифазной обработки), и максимально-плоское окно при полифазном БПФ на 4096 точек. Показана возможность различения рядом стоящих сигналов, тогда как при обычном БПФ они сливаются.

Итак можно сделать вывод. Полифазное БПФ существенно снижает вычислительные затраты, заменяя - точечное БПФ - точечным, или же при тех же вычислительных затратах позволяет обеспечить хорошее разрешение спектрального анализа. Увеличение разрешения анализа обеспечивается полифазной обработкой сигнала на длительном интервале времени. Так как длина исходного сигнала при полифазной обработке в  раз длиннее, то и разрешение выше.

Алгоритм обладает недостатками: