Введение Часто в литературе по цифровой обработке сигналов выражение для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) дается «как данность», и выводу выражения для прямого и обратного ДПФ не уделяется должного внимания. Однако понимание данного перехода позволит лучше понять свойства ДПФ и сущность цифрового спектрального анализа в целом. Для начала мы тоже запишем выражения для непрерывного и дискретного преобразования Фурье, а после осуществим переход к ДПФ от интеграла Фурье.
Дискретизация сигнала по времени. Спектр дискретного сигнала Итак пара непрерывного преобразования Фурье (интеграл Фурье) имеет вид: | (1) |
где – спектр сигнала (в общем случае и сигнал и спектр — комплексные). Выражения для прямого ДПФ и обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) имеют вид: | (2) |
Выражение для ДПФ ставит в соответствие отсчетам сигнала , , в общем случае комплексного, отсчетов спектра , . Можно обратить внимание, что как и в непрерывном, так и в дискретном случае, в выражении для обратного преобразования имеется нормировочный коэффициент. В случае интеграла Фурье это , в случае ОДПФ – . Можно отметить, что в случае непрерывного преобразования нормировочный коэффициент призван корректно отображать масштабирование сигнала во времени в частотную область и наоборот. Другими словами, если последовательно рассчитать спектр некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с исходным сигналом. Нормировочный коэффициент уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того чтобы она совпадала с амплитудой исходного сигнала. Рассмотрим теперь сигнал , как результат умножения непрерывного сигнала на решетчатую функцию , | (3) |
где – дельта-функция, | (4) | – интервал дискретизации. Графически процесс дискретизации можно представить как это показано на рисунке 1.
Рисунок 1: Процесс дискретизации сигнала
Вычислим спектр дискретного сигнала, для этого подставим выражения для дискретного сигнала (3) в выражения для преобразования Фурье (1), получим: | (5) |
Поменяем местами операции суммирования и интегрирования и вспомним фильтрующее свойство дельта-функции: . | (6) |
Тогда выражение (5) с учетом (6): | (7) |
Таким образом мы избавились от интегрирования в бесконечных пределах, заменив конечным суммированием комплексных экспонент. Но пока частота меняется на всей числовой оси. Однако можно заметить что комплексные экспоненты под знаком суммы в выражении (7) являются периодическими функциями с периодом: | (8) |
Необходимо отметить, что исключено из выражения (8), так как при комплексная экспонента равна единице для всех частот. Таким образом максимальный период повторения спектра будет при и равен . | (9) |
В результате можно рассматривать только один период повторения спектра при
Повторение сигнала во времени. Дискретное преобразование Фурье Для цифровой обработки требуются как дискретные отсчеты сигнала, так и дискретные отсчеты спектра. Известно что дискретный (или как еще говорят линейчатый спектр) имеют периодические сигналы, а линейчатый спектр получается путем разложения в ряд Фурье периодического сигнала. Значит, чтобы получить дискретный спектр, надо сделать исходный дискретный сигнал периодическим, или другими словами необходимо повторить данный сигнал во времени бесконечное количество раз с некоторым периодом , тогда его спектр будет содержать дискретные гармоники кратные . Графически процесс повторения сигнала во времени представлен на рисунке 2.
Рисунок 2: Повторение сигнала во времени
Черным показан исходный сигнал, серым его повторения через некоторый период . Как следует из рисунка 2, повторять сигнал можно с различным периодом , однако необходимо чтобы период повторения был более или равен длительности сигнала, т.е. . При этом минимальный период повторения сигнала . | (10) |
Это тот минимальный период при котором сигнал и его повторения не накладываются друг на друга. Повторение сигнала с минимальным периодом представлен на рисунке 3.
Рисунок 3: Повторение сигнала с минимальным периодом
При повторении сигнала с минимальным периодом получим линейчатый спектр сигнала, состоящий из гармоник кратных | (11) |
и на одном периоде получим | (12) |
гармоник спектра. Таким образом мы можем продискретизировать спектр дискретного сигнала на одном периоде повторения с шагом и получим тем самым отсчетов спектра. Учтем вышесказанное в выражении (7), получим: | (13) |
Если опустить в выражении (13) шаг дискретизации по времени и по частоте , то получим окончательное выражение для ДПФ: | (14) |
Можно сделать вывод, что ДПФ ставит в соответствие отсчетам дискретного сигнала отсчетов дискретного спектра, при этом предполагается, что и сигнал и спектр являются периодическими и анализируются на одном периоде. Детально свойства ДПФ будут анализироваться ниже. Мы же займемся выводом ОДПФ.
Обратное дискретное преобразование Фурье Аналогично (3) можно записать выражение для дискретного спектра через решетчатую функцию: , | (15) |
где - дискретные отсчеты спектра на одном периоде повторения . Подставим в выражение для обратного преобразования Фурье (1): | (16) |
где – коэффициент пропорциональности, задача которого обеспечить равенство по амплитуде исходного дискретного сигнала и результата ОДПФ коэффициент пропорциональности учитывает коэффициент . Поменяем местами операции суммирования и интегрирования и учтем фильтрующее свойство дельта-функции получим: | (17) |
Возьмем дискретные отсчеты через интервал , тогда (17) можно записать: | (18) |
Учтем (11) и получим: | (19) |
Опустив в выражении (19) интервалы дискретизации по частоте и по времени, оставив только индексы получим выражение для ОДПФ, в котором оказался неизвестным коэффициент пропорциональности: | (20) |
Для того чтобы рассчитать коэффициент , необходимо в выражение для ОДПФ (20) подставить выражение для расчета спектра при помощи ДПФ (14), получим: | (21) |
Поменяем местами в (21) порядок суммирования и объединим экспоненты: | (22) |
Рассмотрим подробнее сумму комплексных экспонент входящую в (22). При получаем: | (23) |
Теперь рассмотрим эту же сумму при . Пусть , тогда получаем: . | (24) |
Тогда каждая комплексная экспонента входящая в сумму есть вектор на комплексной плоскости единичной длины, повернутый на угол: , | (25) |
таких векторов будет и они повернуты относительно друг друга на одинаковые углы. Поскольку все векторы выходят из одной точки (из 0 комплексной плоскости) и повернуты относительно друг друга на одинаковые углы, то их сумма равна нулю. Это иллюстрируется наглядно для на рисунке 4.
Рисунок 4: Сумма комплексных экспонент
Из рисунка 4 действительно можно заключить что для всех , , , , суммы комплексных экспонент (24) действительно равны нулю. Тогда в выражении (22) от суммы по , останется только слагаемое при . Тогда можно записать (22): | (26) |
Из (26) можно заключить, что . Таким образом выражение для ОДПФ можно окончательно записать: | (27) |
Индексация спектральных отсчетов. Перестановка спектральных отсчетов Таким образом мы получили выражения как для прямого, так и для обратного ДПФ. Сделаем несколько замечаний. Замечание 1. Расчет ДПФ и ОДПФ ведется на основе индексов временных и спектральных отсчетов без учета частоты дискретизации. Это позволяет использовать выражения для ДПФ и ОДПФ при любой частоте дискретизации не меняя вычислительную программу. Это несомненный плюс ДПФ, при этом если необходимо привязать индексы к частоте дискретизации (к реальной оси частот), то нужно вспомнить, что частотный спектр дискретизировался с шагом рад/c, или Гц, где , – частота дискретизации в Гц. Таким образом, если известна частота дискретизации, то - ый спектральный отсчет соответствует частоте рад/c или Гц. Например при частоте дискретизации кГц, при , спектральный отсчет соответствует частоте кГц. Замечание 2. Дискретизация спектра при ДПФ осуществлялась на одном периоде повторения спектра . При этом в силу периодичности спектра дискретного сигнала отсчеты при соответствуют как частотам , так и частотам , где , то есть при соответствуют отрицательным частотам , т.е. физически при вторая половина спектра это частоты от - . Это наглядно иллюстрируется рисунком 5. Для того, чтобы из спектра в интервале частот , рассчитанного при помощи дискретного преобразования Фурье, получить спектр сигнала в интервале необходимо поменять местами две половины спектральных отсчетов (смотри рисунок 5).
Рисунок 5: Перестановка спектральных отсчетов
Замечание 3. Если исходный сигнал действительный, то есть для , тогда | (28) |
Нулевой отчет спектра есть постоянная составляющая сигнала. Если - четное, тогда | (29) |
Центральный спектральный отсчет также не имеет мнимой части. | (30) |
Учтем что , тогда можно сделать вывод: , , то есть вторая половина спектральных отсчетов комплексно сопряжена с первой. На рисунке 6 представлен вид действительной и мнимой части комплексного спектра действительного сигнала при четном . Красным отмечены чисто вещественные и .
Рисунок 6: Реальная и мнимая части комплексного спектра действительного сигнала при четном количестве отсчетов
Выводы В данной статье мы осуществили переход от интеграла Фурье к дискретному преобразованию Фурье путем дискретизации сигнала как по времени так и по частоте. Мы получили выржения для прямого и обратного ДПФ и рассмотрели некоторые свойства ДПФ.
Источник: http://www.dsplib.ru |