Вторник, 24.10.2017, 14:10
Приветствую Вас Гость | RSS

PhViewer 2.0

Меню сайта
Категории раздела

Статьи

Главная » Статьи » Цифровая обработка сигналов » Цифровая обработка сигналов

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Введение
Часто в литературе по цифровой обработке сигналов выражение для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) дается «как данность», и выводу выражения для прямого и обратного ДПФ не уделяется должного внимания. Однако понимание данного перехода позволит лучше понять свойства ДПФ и сущность цифрового спектрального анализа в целом. Для начала мы тоже запишем выражения для непрерывного и дискретного преобразования Фурье, а после осуществим переход к ДПФ от интеграла Фурье.

Дискретизация сигнала по времени. Спектр дискретного сигнала
Итак пара непрерывного преобразования Фурье (интеграл Фурье) имеет вид:
(1)
где – спектр сигнала  (в общем случае и сигнал и спектр — комплексные).
Выражения для прямого ДПФ и обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) имеют вид:
(2)
Выражение для ДПФ ставит в соответствие  отсчетам сигнала , в общем случае комплексного,  отсчетов спектра .
Можно обратить внимание, что как и в непрерывном, так и в дискретном случае, в выражении для обратного преобразования имеется нормировочный коэффициент. В случае интеграла Фурье это , в случае ОДПФ – . Можно отметить, что в случае непрерывного преобразования нормировочный коэффициент  призван корректно отображать масштабирование сигнала во времени в частотную область и наоборот. Другими словами, если последовательно рассчитать спектр некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с исходным сигналом. Нормировочный коэффициент  уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того чтобы она совпадала с амплитудой исходного сигнала.
Рассмотрим теперь сигнал , как результат умножения непрерывного сигнала  на решетчатую функцию
,(3)
где  – дельта-функция,
(4)
– интервал дискретизации. Графически процесс дискретизации можно представить как это показано на рисунке 1.

 
Рисунок 1: Процесс дискретизации сигнала

Вычислим спектр дискретного сигнала, для этого подставим выражения для дискретного сигнала (3) в выражения для преобразования Фурье (1), получим:
(5)
Поменяем местами операции суммирования и интегрирования и вспомним фильтрующее свойство дельта-функции:
.(6)
Тогда выражение (5) с учетом (6):
(7)
Таким образом мы избавились от интегрирования в бесконечных пределах, заменив конечным суммированием комплексных экспонент. Но пока частота  меняется на всей числовой оси. Однако можно заметить что комплексные экспоненты под знаком суммы в выражении (7) являются периодическими функциями с периодом:
(8)
Необходимо отметить, что  исключено из выражения (8), так как при  комплексная экспонента равна единице для всех частот. Таким образом максимальный период повторения спектра будет при и равен
 .(9)
В результате можно рассматривать только один период повторения спектра  при 

Повторение сигнала во времени. Дискретное преобразование Фурье
Для цифровой обработки требуются как дискретные отсчеты сигнала, так и дискретные отсчеты спектра. Известно что дискретный (или как еще говорят линейчатый спектр) имеют периодические сигналы, а линейчатый спектр получается путем разложения в ряд Фурье периодического сигнала. Значит, чтобы получить дискретный спектр, надо сделать исходный дискретный сигнал периодическим, или другими словами необходимо повторить данный сигнал во времени бесконечное количество раз с некоторым периодом , тогда его спектр будет содержать дискретные гармоники кратные . Графически процесс повторения сигнала во времени представлен на рисунке 2.

 
Рисунок 2: Повторение сигнала во времени

Черным показан исходный сигнал, серым его повторения через некоторый период .
Как следует из рисунка 2, повторять сигнал можно с различным периодом , однако необходимо чтобы период повторения был более или равен длительности сигнала, т.е. . При этом минимальный период повторения сигнала
.(10)
Это тот минимальный период при котором сигнал и его повторения не накладываются друг на друга. Повторение сигнала с минимальным периодом  представлен на рисунке 3.

 
Рисунок 3: Повторение сигнала с минимальным периодом

При повторении сигнала с минимальным периодом получим линейчатый спектр сигнала, состоящий из гармоник кратных
(11)
и на одном периоде  получим
(12)
гармоник спектра.
Таким образом мы можем продискретизировать спектр дискретного сигнала на одном периоде повторения с шагом  и получим тем самым отсчетов спектра. Учтем вышесказанное в выражении (7), получим:
(13)
Если опустить в выражении (13) шаг дискретизации по времени  и по частоте , то получим окончательное выражение для ДПФ:
(14)
Можно сделать вывод, что ДПФ ставит в соответствие  отсчетам дискретного сигнала  отсчетов дискретного спектра, при этом предполагается, что и сигнал и спектр являются периодическими и анализируются на одном периоде.
Детально свойства ДПФ будут анализироваться ниже. Мы же займемся выводом ОДПФ.

Обратное дискретное преобразование Фурье
Аналогично (3) можно записать выражение для дискретного спектра через решетчатую функцию:
,(15)
где  - дискретные отсчеты спектра на одном периоде повторения . Подставим в выражение для обратного преобразования Фурье (1):
(16)
где  – коэффициент пропорциональности, задача которого обеспечить равенство по амплитуде исходного дискретного сигнала и результата ОДПФ коэффициент пропорциональности учитывает коэффициент . Поменяем местами операции суммирования и интегрирования и учтем фильтрующее свойство дельта-функции получим:
(17)
Возьмем дискретные отсчеты  через интервал , тогда (17) можно записать:
(18)
Учтем (11) и получим:
(19)
Опустив в выражении (19) интервалы дискретизации по частоте и по времени, оставив только индексы получим выражение для ОДПФ, в котором оказался неизвестным коэффициент пропорциональности:
(20)
Для того чтобы рассчитать коэффициент , необходимо в выражение для ОДПФ (20) подставить выражение для расчета спектра при помощи ДПФ (14), получим:
(21)
Поменяем местами в (21) порядок суммирования и объединим экспоненты:
(22)
Рассмотрим подробнее сумму комплексных экспонент входящую в (22). При  получаем:
(23)
Теперь рассмотрим эту же сумму при . Пусть , тогда получаем:
 .(24)
Тогда каждая комплексная экспонента входящая в сумму есть вектор на комплексной плоскости единичной длины, повернутый на угол:
,(25)
таких векторов будет  и они повернуты относительно друг друга на одинаковые углы. Поскольку все векторы выходят из одной точки (из 0 комплексной плоскости) и повернуты относительно друг друга на одинаковые углы, то их сумма равна нулю. Это иллюстрируется наглядно для  на рисунке 4.

 
Рисунок 4: Сумма комплексных экспонент

Из рисунка 4 действительно можно заключить что для всех , суммы комплексных экспонент (24) действительно равны нулю. Тогда в выражении (22) от суммы по , останется только слагаемое при . Тогда можно записать (22):
(26)
Из (26) можно заключить, что . Таким образом выражение для ОДПФ можно окончательно записать:
(27)

Индексация спектральных отсчетов. Перестановка спектральных отсчетов
Таким образом мы получили выражения как для прямого, так и для обратного ДПФ. Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Расчет ДПФ и ОДПФ ведется на основе индексов временных  и спектральных отсчетов без учета частоты дискретизации. Это позволяет использовать выражения для ДПФ и ОДПФ при любой частоте дискретизации не меняя вычислительную программу. Это несомненный плюс ДПФ, при этом если необходимо привязать индексы к частоте дискретизации (к реальной оси частот), то нужно вспомнить, что частотный спектр дискретизировался с шагом рад/c, или  Гц, где  – частота дискретизации в Гц. Таким образом, если известна частота дискретизации, то - ый спектральный отсчет соответствует частоте  рад/c или Гц. Например при частоте дискретизации  кГц, при спектральный отсчет соответствует частоте  кГц.
Замечание 2. Дискретизация спектра при ДПФ осуществлялась на одном периоде повторения спектра . При этом в силу периодичности спектра дискретного сигнала отсчеты  при  соответствуют как частотам, так и частотам , где , то есть  при соответствуют отрицательным частотам , т.е. физически при вторая половина спектра это частоты от -. Это наглядно иллюстрируется рисунком 5. Для того, чтобы из спектра в интервале частот , рассчитанного при помощи дискретного преобразования Фурье, получить спектр сигнала в интервале необходимо поменять местами две половины спектральных отсчетов (смотри рисунок 5).

 
Рисунок 5: Перестановка спектральных отсчетов

Замечание 3. Если исходный сигнал действительный, то есть для , тогда
(28)
Нулевой отчет спектра есть постоянная составляющая сигнала. Если - четное, тогда
(29)
Центральный спектральный отсчет также не имеет мнимой части.
Рассмотрим теперь  и :
(30)
Учтем что  , тогда можно сделать вывод: , то есть вторая половина спектральных отсчетов комплексно сопряжена с первой. На рисунке 6 представлен вид действительной и мнимой части комплексного спектра действительного сигнала при четном . Красным отмечены чисто вещественные  и.

 
Рисунок 6: Реальная и мнимая части комплексного спектра действительного сигнала при четном количестве отсчетов

Выводы
В данной статье мы осуществили переход от интеграла Фурье к дискретному преобразованию Фурье путем дискретизации сигнала как по времени так и по частоте. Мы получили выржения для прямого и обратного ДПФ и рассмотрели некоторые свойства ДПФ.


Источник: http://www.dsplib.ru
Категория: Цифровая обработка сигналов | Добавил: Olenevod (14.03.2012)
Просмотров: 1740 | Теги: цифровая обработка сигналов, ДПФ, преобразование Фурье