Часто в литературе по цифровой обработке сигналов выражение для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) дается «как данность», и выводу выражения для прямого и обратного ДПФ не уделяется должного внимания. Однако понимание данного перехода позволит лучше понять свойства ДПФ и сущность цифрового спектрального анализа в целом. Для начала мы тоже запишем выражения для непрерывного и дискретного преобразования Фурье, а после осуществим переход к ДПФ от интеграла Фурье.

Итак пара непрерывного преобразования Фурье (интеграл Фурье) имеет вид:

Выражения для прямого ДПФ и обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) имеют вид:

Выражение для ДПФ ставит в соответствие  отсчетам сигнала , , в общем случае комплексного,  отсчетов спектра , .

Можно обратить внимание, что как и в непрерывном, так и в дискретном случае, в выражении для обратного преобразования имеется нормировочный коэффициент. В случае интеграла Фурье это , в случае ОДПФ – . Можно отметить, что в случае непрерывного преобразования нормировочный коэффициент  призван корректно отображать масштабирование сигнала во времени в частотную область и наоборот. Другими словами, если последовательно рассчитать спектр некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с исходным сигналом. Нормировочный коэффициент  уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того чтобы она совпадала с амплитудой исходного сигнала.

Рассмотрим теперь сигнал , как результат умножения непрерывного сигнала  на решетчатую функцию

Вычислим спектр дискретного сигнала, для этого подставим выражения для дискретного сигнала (3) в выражения для преобразования Фурье (1), получим:

Поменяем местами операции суммирования и интегрирования и вспомним фильтрующее свойство дельта-функции:

Тогда выражение (5) с учетом (6):

Таким образом мы избавились от интегрирования в бесконечных пределах, заменив конечным суммированием комплексных экспонент. Но пока частота  меняется на всей числовой оси. Однако можно заметить что комплексные экспоненты под знаком суммы в выражении (7) являются периодическими функциями с периодом:

Необходимо отметить, что  исключено из выражения (8), так как при  комплексная экспонента равна единице для всех частот. Таким образом максимальный период повторения спектра будет при и равен

В результате можно рассматривать только один период повторения спектра  при 

Для цифровой обработки требуются как дискретные отсчеты сигнала, так и дискретные отсчеты спектра. Известно что дискретный (или как еще говорят линейчатый спектр) имеют периодические сигналы, а линейчатый спектр получается путем разложения в ряд Фурье периодического сигнала. Значит, чтобы получить дискретный спектр, надо сделать исходный дискретный сигнал периодическим, или другими словами необходимо повторить данный сигнал во времени бесконечное количество раз с некоторым периодом , тогда его спектр будет содержать дискретные гармоники кратные . Графически процесс повторения сигнала во времени представлен на рисунке 2.

Черным показан исходный сигнал, серым его повторения через некоторый период .

Как следует из рисунка 2, повторять сигнал можно с различным периодом , однако необходимо чтобы период повторения был более или равен длительности сигнала, т.е. . При этом минимальный период повторения сигнала

Это тот минимальный период при котором сигнал и его повторения не накладываются друг на друга. Повторение сигнала с минимальным периодом  представлен на рисунке 3.

При повторении сигнала с минимальным периодом получим линейчатый спектр сигнала, состоящий из гармоник кратных

Таким образом мы можем продискретизировать спектр дискретного сигнала на одном периоде повторения с шагом  и получим тем самым отсчетов спектра. Учтем вышесказанное в выражении (7), получим:

Если опустить в выражении (13) шаг дискретизации по времени  и по частоте , то получим окончательное выражение для ДПФ:

Можно сделать вывод, что ДПФ ставит в соответствие  отсчетам дискретного сигнала  отсчетов дискретного спектра, при этом предполагается, что и сигнал и спектр являются периодическими и анализируются на одном периоде.

Детально свойства ДПФ будут анализироваться ниже. Мы же займемся выводом ОДПФ.

Аналогично (3) можно записать выражение для дискретного спектра через решетчатую функцию:

Возьмем дискретные отсчеты  через интервал , тогда (17) можно записать:

Учтем (11) и получим:

Опустив в выражении (19) интервалы дискретизации по частоте и по времени, оставив только индексы получим выражение для ОДПФ, в котором оказался неизвестным коэффициент пропорциональности:

Для того чтобы рассчитать коэффициент , необходимо в выражение для ОДПФ (20) подставить выражение для расчета спектра при помощи ДПФ (14), получим:

Поменяем местами в (21) порядок суммирования и объединим экспоненты:

Рассмотрим подробнее сумму комплексных экспонент входящую в (22). При  получаем:

Теперь рассмотрим эту же сумму при . Пусть , тогда получаем:

Тогда каждая комплексная экспонента входящая в сумму есть вектор на комплексной плоскости единичной длины, повернутый на угол:

Из рисунка 4 действительно можно заключить что для всех , , , , суммы комплексных экспонент (24) действительно равны нулю. Тогда в выражении (22) от суммы по , останется только слагаемое при . Тогда можно записать (22):

Из (26) можно заключить, что . Таким образом выражение для ОДПФ можно окончательно записать:

Таким образом мы получили выражения как для прямого, так и для обратного ДПФ. Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Расчет ДПФ и ОДПФ ведется на основе индексов временных  и спектральных отсчетов без учета частоты дискретизации. Это позволяет использовать выражения для ДПФ и ОДПФ при любой частоте дискретизации не меняя вычислительную программу. Это несомненный плюс ДПФ, при этом если необходимо привязать индексы к частоте дискретизации (к реальной оси частот), то нужно вспомнить, что частотный спектр дискретизировался с шагом рад/c, или  Гц, где ,  – частота дискретизации в Гц. Таким образом, если известна частота дискретизации, то - ый спектральный отсчет соответствует частоте  рад/c или Гц. Например при частоте дискретизации  кГц, при , спектральный отсчет соответствует частоте  кГц.

Замечание 2. Дискретизация спектра при ДПФ осуществлялась на одном периоде повторения спектра . При этом в силу периодичности спектра дискретного сигнала отсчеты  при  соответствуют как частотам, так и частотам , где , то есть  при соответствуют отрицательным частотам , т.е. физически при вторая половина спектра это частоты от -. Это наглядно иллюстрируется рисунком 5. Для того, чтобы из спектра в интервале частот , рассчитанного при помощи дискретного преобразования Фурье, получить спектр сигнала в интервале необходимо поменять местами две половины спектральных отсчетов (смотри рисунок 5).

Замечание 3. Если исходный сигнал действительный, то есть для , тогда

Нулевой отчет спектра есть постоянная составляющая сигнала. Если - четное, тогда

Центральный спектральный отсчет также не имеет мнимой части.

Рассмотрим теперь ,  и :

Учтем что  , тогда можно сделать вывод: , , то есть вторая половина спектральных отсчетов комплексно сопряжена с первой. На рисунке 6 представлен вид действительной и мнимой части комплексного спектра действительного сигнала при четном . Красным отмечены чисто вещественные  и.

В данной статье мы осуществили переход от интеграла Фурье к дискретному преобразованию Фурье путем дискретизации сигнала как по времени так и по частоте. Мы получили выржения для прямого и обратного ДПФ и рассмотрели некоторые свойства ДПФ.